| Zgodba o številih je strašno zanimiva. Pojavlja se kopica vprašanj: Kdo in kdaj jih je prvi iznašel? Kako so se razvijala? Od kod je današnji zapis za števila? In mnogo drugih. Pa poiščimo nekaj odgovorov. |
Zgodovina števil
Zgodovina števil
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Uvod
Začetki
O razvoju človeštva pred pisano besedo govorijo arheološke najdbe. Spodnja kost je iz Afrike in je stara okrog 37000 let.
Vidimo, da zareze na njej niso naključne, so delo človeških rok. Kaj točno so predstavljale, lahko le ugibamo. Vendar s precejšnjo gotovostjo lahko trdimo, da si je nekdo označil neko število, na primer koliko zajcev je ulovil. V Afriki je zima, zato rabijo ozimnico. Na naslednji sliki sta dve kosti, tudi iz Afrike, stari okrog 20000 let. To je kar nekaj tisočletij kasneje. Čas se pozna tudi na kosteh, saj je zapis že precej drugačen.
Zdi se, da zareze niso naključno postavljene v skupine. Strokovnjaki menijo, da bi zgornjo vrstico na prvi kosti lahko prebrali takole
Torej se zdi, da so celo že seštevali! Toda to še ni seštevanje v današnjem smislu, ko seštevamo števila. Na teh kosteh vsaka skupina črt predstavlja neki predmet in lastnik kosti si je le zabeležil, koliko česa ima. Do preskoka od petih zajcev, petih palic, petih ... do števila pet je preteklo še nekaj tisočletij. Število, to je pojem, ki opisuje količino, je vpeljal Pitagora v 5. stoletju pr. n. št. Šele takrat se je pet zajcev, pet palic in tako naprej spremenilo v število pet– 5 česar koli.
Prvi zapisi
Čez nekaj tisočletij so zapisovanje števila predmetov, ki jih imajo, še izpopolnili. Vrezovanje črtic je namreč precej zamudno, če si želimo zapisati na primer, da imamo 100 kamiličnih cvetov. Na različnih koncih sveta so se razvili različni znaki za krajše zapisovanje.
Vendar so vsi zapisi, ki jih najdeš na zgornji sliki še vedno nerodni za zapisovanje, kaj šele za računanje. In prav vsi imajo hudo pomanjkljivost: na prvi pogled je težko oceniti, katero število je večje. Če si za primer ogledamo egipčanske hieroglife, vidimo, da za zapis števila 9 potrebujemo 9 znakov, za naslednje število pa le enega. Za boljšo predstavo poskusi zapisati, katera števila so predstavljena na spodnjih slikah.
Na prvi sliki je število zapisano po egipčansko. Iz zgornje tabele preberemo, da sta narisana dva znaka za 100, sedem znakov za 10 in šest znakov za 1. Zapisano vrednost dobimo s seštevanjem:
Na drugi sliki je kitajski zapis. S pomočjo tabele prepoznamo znake: prvi je za 4000, drugi je za 300, tretji je za 50, četrti pa za 9. Zapis torej predstavlja število 4359.
Zapis na tretji sliki je najbolj zapleten. Znakov ni težko prepoznati: Prvi predstavlja 1, drugi 57, tretji 46 in četrti 40. Naprej se malce zaplete, saj so Babilonci uporabljali 60-tiški sistem. To pomeni, da je treba skrajno desno vrednost pomnožiti s (pri nas so enice ), naslednjo v levo s (pri nas so desetice ), naslednje s (kot stotice – ), še naslednje s in tako naprej. Zgornji zapis tako predstavlja število:
Mestni zapisi števil
Ideja o mestnem zapisovanju števil je že zelo stara. Videli smo, da so tak zapis uporabljali že Babilonci kar dva tisoč let pr. n. št. Videli pa smo tudi, da njihov zapis še ni bil idealen, saj smo morali kar precej računati, preden smo razbrali zapis. Tudi kitajski zapis uporablja mestni zapis vrednosti, ta je nastal v prvem stoletju pr. n. št. Oba zapisa imata isto slabost: enomestnih števil ni mogoče neodvisno predstavljati; na primer število dve nima posebne števke, ampak se zapiše s ponovitvijo števke za število .
To slabost so odpravili Indijci v 5. stoletju n. št. Začeli so uporabljati ničlo in našli idealen zapis: uporabili so mestni zapis vrednosti in desetiški sistem. Izbrali so si deset števk in vsaka števka je imela v zapisu določen pomen glede na mesto, na katerem je bila zapisana. Končno je bilo možno na prvi pogled oceniti, katero število je večje. Število z daljšim zapisom je večje od tistega s krajšim zapisom. Prvi so uporabili ničlo– če enic, desetic, stotic in tako naprej ni, je na njihovem mestu ničla. Arabci so se na svojih pohodih srečali z indijskim zapisom števil in takoj videli njegovo uporabnost. Uporabili so svoje števke in zapis prenesli tudi v Evropo. Evropejci so bili bolj zadržani in so vse do 13. sotletja uporabljali rimske številke. Danes seveda uporabljamo arabske številke (tako se imenujejo, ker so jih k nam prinesli Arabci). Zapis je tako idealen, da že težko ločimo, kaj je število in kaj številka (številka je zapis za število).
Svet števil se širi
Prišli smo do idealnega zapisa za števila. Kakšna števila pa so sploh želeli zapisovati? Katera števila so spoznali do 5. stoletja? Seveda so poznali števila, s katerimi štejemo, to so in tako naprej. Kaj pa druga? Pitagora je bil prepričan, da se da vse izraziti s celoštevilskimi razmerji. Števila, ki jih lahko zapišemo s celoštevilskim razmerjem, se imenujejo racionalna števila. Torej je bil Pitagora prepričan, da se da vse predstaviti z racionalnimi števili. Dokler ni s pomočjo svojega izreka ugotovil, da je diagonala kvadrata s stranico enaka kvadratnemu korenu iz .
se ne da zapisati s celoštevilskim razmerjem. Takim številom pravimo iracionalna števila. Zaradi prepričanja, da se da vse izraziti s celoštevilskimi razmerji, je bil za pitagorejce nekaj neizrekljivega. Kdor bi njegov obstoj izdal drugimi, bi to plačal s smrtjo. Pitagorejci so vedeli tudi, da je razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom konstantno. Vendar takrat še niso vedeli, da je tudi to število iracionalno. Arhimed je v 3. stoletju pr. n. št. odkril postopek za poljubno natančen približek tega števila. V pravilni šestkotnik je včrtal krog, katerega obseg je meril. Potem je podvojil število stranic šestkotnika in ponovil račun. To je nadaljeval, dokler ni izračunal obsega pravilnega 96-kotnika. Ugotovil je, da velja:
,
kar je izjemno natančno. Približek 22/7 se uporablja še danes. Iskano razmerje so šele v 17. stoletju označili z grško črko in ga proglasili za število. Danes je znanih že 16 milijonov decimalk števila .
Po Arhimedovih stopinjah
Pojdimo po Arhimedovih stopinjah. Na spodnji sliki lahko premikaš točko na drsniku in tako narišeš različne pravilne večkotnike. Obseg pravilnega -kotnika je (sešteti moramo dolžine -tih enakih stranic ). Približek za dobimo iz razmerja
in ta približek se ti bo sproti izpisoval.
Kako natančen je?
Vidimo, da je pri dvajsetkotniku rezultat že precej natančen, toda druga decimalka še ni prava. Do Arhimedovega rezultata nismo prišli, lahko pa sam poskusiš dobiti približek za pi s pomočjo včrtanega 96-kotnika.
Če dobro pogledamo, lahko opazimo, da so bila vsa do sedaj omenjena števila pozitivna. Razlog je preprost: negativnih števil še niso potrebovali, saj so v glavnem računali z dolžinami. Potreba po negativnih številih se je pojavila v računovodstvu. Tudi do tega so prvi prišli Indijci, in sicer v 6. in 7. stoletju. Plačane zneske so vpisovali s pozitivnimi številkami, dolgove pa z negativnimi. Sčasoma je negativnost prešla v splošno rabo. Evropejci so tudi negativna števila sprejeli zelo pozno, šele konec 15. stoletja. Do takrat so se jim zdela ta števila absurdna.
Kot naslednje pomembno odkritje bi lahko omenili decimalni zapis številk. V 15. stoletju ga je dokončno izdelal perzijski matematik al-Kashi, direktor observatorija v Samarkandu, v svojem delu Miftah al-hisab (Ključ aritmetike). Na Zahodu je splošno uporabo decimalnih številk uvedel leta 1585 flamski matematik Simon Stevin z delom La Disme (Desetina).
Z vpeljavo negativnih števil so matematiki naleteli še na eno oviro: koliko je ? Verjetno večina misli, da to ni mogoče, da tako število ne obstaja. Toda to ni res, matematiki so strli tudi ta oreh. G. W. Leibniz je vpeljal imaginarno enoto, katere kvadrat je negativen. Leonhard Euler pa je leta 1777 za imaginarno enoto vpeljal simbol i. Velja:
Več o tem bomo povedali v drugem letniku.
Neskončnost
| 
|
Za konec naše zgodbe si oglejmo še neskončna števila. Za uvod pojdimo v hotel Neskončnost. V tem hotelu je neskončno sob, toliko sob, kolikor je naravnih števil. Receptor je pravkar prišel do zadrege: hotel je poln, pred njim pa stoji 10 utrujenih novih gostov. Jim lahko poišče sobo?
Lahko. Vsakega gosta prosi, da se preseli v sobo, ki ima številko za deset večjo od sedanje. Tako se mu sprosti prvih 10 sob in v njih lahko nastani 10 novih gostov.
Neskončnost 2
Uf, receptor se je komaj spomnil, kaj naj naredi s tistimi desetimi gosti, in že je pred novo nalogo. Pravkar je izvedel, da je na poti avtobus, v katerem je toliko ljudi, kolikor je naravnih števil, in tudi tem mora poiskati sobe. Je to možno?
Presenetljivo je tudi tokrat našel rešitev: vsakega dosedanjega gosta bo prosil, da se preseli v sobo, katere številka je dvakratnik številke zdajšnje sobe. Tako se mu bodo sprostile vse lihe sobe in vanje lahko namesti prihajajoče goste.
Vidimo, da je hotel Neskončnost prav poseben, tudi če je poln, lahko sprejme še neskončno gostov ... In to je težko dojeti. O neskončnosti so razmišljali že stari Grki. Aristotel je rekel, da neskončnost obstaja v naravi in jo je mogoče opredeliti kot množino, vendar ker je ne moremo celovito dojeti, ne more dejansko obstajati, ampak samo kot možnost. Sklepal je, da neskončnost v matematiki ne more obstajati.
Neskončnost je zaradi nepredstavljivosti vedno burila duhove. Šele triindvajset stoletij po Aristotelu sta nemška matematika Georg Cantor (1845–1918) in Richard Dedekind (1831–1916) dokončno razjasnila pojme. Ugotovila sta, da je na številski premici med 0 in 1 veliko več števil, kot je vseh števil, s katerimi štejemo. Tako sta prišla do fascinantnih pojmov in celo števil. Ugotovila sta, da neskončnost ni ena sama. Nam najbližji sta dve neskončnosti: števna neskončnost– toliko je naravnih števil (in prav toliko je tudi celih in racionalnih števil) in moč kontinuuma – toliko je realnih števil. Različne neskončnosti se imenujejo kardinalna števila in Cantor jih je označil s prvo črko hebrejske abecede, to je alef. Najmanjša je števna neskončnost, dobila je oznako . S kardinalnimi števili lahko celo računamo in so pomembna v znanosti, razumeti pa jih je zelo težko.
Tako, z neskončnostjo končajmo našo zgodbo. Kakšno podrobnost lahko pustimo še za drugič ...
Dodatne naloge
1. Se spomniš podatka kdo in kdaj je začel uporabljati ničlo.
2. Egipčani so uporabljali poseben zapis ulomkov. Imeli so oznake za ulomke , to je in tako naprej, ter ulomek . S temi oznakami so kot vsoto takih ulomkov zapisovali vse ulomke. Na primer so zapisali kot . Poskusi z vsoto takih ulomkov zapisati ulomke , in .
3. Receptor v hotelu Neskončnost, v katerem je neskončno sob, ima nov problem. V poln hotel mora namestiti še dva avtobusa potnikov, v vsakem avtobusu je neskončno ljudi. Lahko vsem poišče sobi?
1. Ničlo kot število so začeli uporabljati Indijci v 5. stoletju skupaj z mestnim zapisom števil. Sicer so pred njimi ničlo uporabljali že Babilonci v 3. stoletju p.n.š., toda le kot pomožni znak , ki ga nikoli niso uporabili kot število samo. Podoben znak so v 1. stoletju n.š. uporabljali tudi Maji. V 5. stoletju pa se je ničla v Indiji končno pojavila kot število.
2.
3. Tudi tokrat je našel rešitev: prvotne goste je prosil , naj se premestijo v trikratnike prejšnjih sob, torej v sobe 3,6,9,... Prvotne goste je tako premestil v sobe s številko oblike . Potnike iz prvega avtobusa je namestil v sobe 2,5,8,..., to je v sobe s številko oblike . Potnike iz drugega avtobusa pa v sobe 1,4,7,..., to je v sobe s številko oblike .
