Deljivost naravnih števil
Deljivost naravnih števil
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Uvod
Relacije
V Slovarju tujk Cankarjeve založbe piše, da beseda relacija izhaja iz latinske besede relatio, ki pomeni odnos, razmerje ali vračanje, ponavljanje. Prvi zapisan pomen je (pisno) poročilo (npr. poveljnika o vojaških operacijah). Drugi pomen je odnos, zveza, razmerje med dvema ali več stvarmi (npr. vzorčna, notranja relacija). Tretji pomen je razdalja, oddaljenost, proga (dolga relacija). Zadnji pomen pa je povezava med dvema množicama števil v matematiki.
Primer
Začnimo s preprostim primerom. Na sliki je družina Simpson. Mami je ime Marge, ocetu Homer, sinu Bart, prvi hceri Lisa, najmlajša pa je Maggie. V kakšni relaciji so med sabo? Marge je mama Bartu, Lisi in Maggie. Po matematično bi to lahko zapisali tako:
Marge Bart, Marge Lisa in Marge Maggie, pri čemer smo relacijo 'je mama' označili z .
Naloga
Označimo relacijo 'je oče' z in relacijo 'je brat ali sestra' z .
Zapiši, kdo je v kakšni relaciji s kom, kot smo zapisali za relacijo 'je mama'.
Relacija 'je oče':
Relacija 'je brat ali sestra':
Povej več o teh relacijah
Še malo ostanimo pri Simpsonovih. Oglejmo si relacijo , ki naj pomeni 'biti manjši ali enako visok' kot drugi. Čakata te dve nalogi: Zapiši, kako so z povezani Simpsonovi, in ugotovi, ali je nova relacija simetrična ali tranzitivna.
Pravilno Nazaj
Vidimo, da sta si relaciji in zelo podobni, relacija pa je drugačna.
Te relacije imajo različne lastnosti. Relaciji in nimata kakšne posebne lastnosti, pri relaciji pa smo eno takoj opazili:
- Če je na primer Bart Lisa, je tudi Lisa Bart (iz dane relacije sledi relacija z zamenjanim vrstnim redom). Relacijo s tako lastnostjo imenujemo simetrična relacija.
- Relacija ima še eno lepo lastnost: Če vemo, da je Bart Lisa in Lisa Maggie, potem je Bart Maggie. Ali splošno: Če vemo, da je nekdo z drugo osebo in je druga oseba tretji osebi, potem je nekdo tudi tretji osebi. Drugače enostavno ne more biti. Taki relaciji rečemo tranzitivna relacija, ker se nekako prenaša (tranzicija pomeni prenos).
Relacija ni simetrična, saj velja le v eno smer - ali je Maggie manjša od Lise ali obratno. Je pa tranzitivna, saj lahko naredimo sklep: Če je Maggie Lisa in Lisa Bart, potem je Maggie Bart.
Ugotovili smo, da je relacija tranzitivna, simetrična pa ni. Ima pa kakšno novo lasnost: Velja, da je Maggie Maggie in podobno za ostale družinske člane. Vsi so v relaciji s samim sabo. Taki relaciji rečemo refleksivna relacija.
Ali lahko naredimo kakšen sklep, če velja, da je en drugi in hkrati drugi en? Glede na to, da so vsi Simpsonovi različno visoki, je možen le en sklep: en in drugi sta ista oseba. Relaciji, pri kateri lahko tako sklepamo, rečemo antisimetrična relacija.
Relacijo smo si v resnici sposodili. Običajno jo uporabljamo za urejanje števil, števila namreč urejamo po velikosti. Tudi pri številih ima enake lastnosti, je refleksivna, antisimetrična in tranzitivna, saj za poljubni števili in velja:
2. Če je in hkrati , potem je . (antisimetričnost)
3. Če je in hkrati , potem je . (tranzitivnost)
Relacija s temi tremi lastnostmi je relacija delne urejenosti. V našem primeru torej delno ureja Simpsonove, pri številih pa delno ureja števila.
Ekvivalenčna relacija
Veliko smo se že naučili, zato bi morali malo utrditi nove pojme. Oglejmo si še eno relacijo, to je vzporednost. Spomnimo se, da sta premici vzporedni, če nimata skupnih točk ali če se prekrivata. Da je premica p vzporedna premici r, napišemo tako: p || r. Pozorno preberi spodnje povedi in jih dopolni.
Relacija vzporednosti je , saj je vsaka premica vzporedna sama sebi. Velja . Relacija vzporednosti je tudi , saj velja: Če je , je tudi . Vzporednost je tudi relacija, saj velja: Če je in , je tudi .
Pravilno Naprej
1. refleksivna
2. simetrična
3.
4. tranzitivna
5.
Relacija deljivosti
Deljivost je v množici naravnih števil posebej zanimiva, saj se deljenje ne izide vedno, včasih poleg količnika dobimo tudi ostanek. V množici racionalnih števil relacija deljivosti ni zanimiva, saj je vsako število deljivo z vsakim drugim številom. Preden bomo ugotovili, kdaj sta dve števili v relaciji deljivosti, se malo poigraj s spodnjo sliko. Na njej lahko premikaš oba krogca in sproti se ti bo izpisovalo, kolikšen je količnik in kolikšen je ostanek. Poskusi premisliti, kdaj bi lahko rekli, da delitelj deli deljenca.
Delitelj deli deljenca, kadar je ostanek enak nič. To se zgodi, kadar je deljenec večkratnik delitelja.
Ugotovili smo, da število deli število , če je večkratnik števila . To pomeni, da lahko zapišemo kot nekaj krat :
Oglejmo si primer: deli , saj je dvakratnik števila , . Vemo tudi, da ne deli , saj ni večkratnik števila . V tem primeru pri deljenju dobimo ostanek , . Oznaka za relacijo 'deli' je . Zgornje ugotovitve bi tako lahko zapisali:
Splošno pa velja:
- Relacija deljivosti je refleksivna, saj velja .
- Relacija deljivosti ni simetrična, saj ne velja: Če , potem tudi .
- Relacija je antisimetrična, saj velja: Če in , potem je . Iz relacije dobimo , iz relacije pa . Ko združimo obe enačbi, dobimo: . Od tod pa sledi, da sta in oba enaka in zato je .
- Relacija deljivosti je tranzitivna, saj velja: Če in , potem . Iz relacije dobimo , iz relacije dobimo . Ko združimo obe enačbi, dobimo (če označimo ), kar pa pomeni, da .
Ker je relacija deljivosti refleksivna, antisimetrična in tranzitivna, je relacija delne urejenosti.
1. naloga
Tako, čas je za naloge. Za lažji začetek najprej zapišimo vse delitelje števila , da si malo osvežimo spomin. Kako se lotimo take naloge? Začnemo pri , saj ena deli vsako naravno število, nato gremo kar po vrsti in pogledamo, če je večkratnik števila, ki je na vrsti. Preveriti moramo števila do polovice danega števila, v tem primeru do . Na koncu ne smemo pozabiti, da je tudi delitelj samega sebe.
Delitelji števila so:
1, 2, 4, 16, 32
1, 2, 16, 32
1, 2, 4, 8, 16, 32
Zapišimo še delitelje števila .
2, , 4, 5, 6, 10, 12, 20, 30, 60
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Vidimo, da ima število zelo veliko deliteljev, zato so ga nekatera ljudstva dolgo imela za osnovo številskega sistema. Pravzaprav se je ohranil do danes in sicer pri merskih enotah za čas ( ura ima minut, minuta ima sekund) in za merjenje kotov ( kotna stopinja ima kotnih minut, kotna minuta ima kotnih sekund).
Pravilno Naprej
Žal je vsaj en odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
2.naloga
Delitelji števila so:
1, 2, 4, 6 in 12.
1, 2, 3, 4, in 6.
1, 2, 3, 4, 6 in 12.
Delitelji števila so:
1,3,7,9 in 47.
1,3 in 47.
1 in 47.
Delitelji števila so:
1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 in 100.
- 1, 2, 4, 5, 6, 10, 20, 25, 50 in 100.
1, 2, 5, 10, 20, 50 in 100.
Pravilno Naprej
Žal je vsaj en odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
3. naloga
Sedaj poskusimo ugotoviti, ali deli . Kaj naredimo pri taki nalogi? Števili preprosto zdelimo. Če je ostanek , potem deli, če ostanek ni enak , pa ne deli.
To pomeni, da , saj je .
Hitro preveri, ali deli , ali deli in ali deli .
Pravilno Naprej
4. naloga
Oglejmo si še nekaj malce zahtevnejših primerov.
- Ali ? S kalkulatorjem si v takem primeru ne moremo nič pomagati, saj so števila prevelika. Lahko pa uporabimo naše znanje o potencah. Spomnimo se, da za vsoto oziroma razliko potenc ni posebnega pravila, pomaga nam izpostavljanje skupnega faktorja. V tem primeru je to (vedno moramo izpostaviti osnovo na najmanjši eksponent). Tako dobimo:
Izraz smo preoblikovali v nekaj krat , kar pomeni, da .
- Ali za , ali za kak drug ?
V prejšnji nalogi smo uspeli z izpostavljanjem. Pa poskusimo:
Vidimo, da je izraz oblike . To pomeni, da je deljiv s in morda z (odvisno od -ja), nikakor pa ni deljiv s , zato ne deli tega izraza.
Pravilno Naprej
5. naloga
Za konec še malo razmislimo. Če deli , ali deli tudi večkratnike števila ?
Predloži odgovor
Vemo, da in da . Ali deli ? Kaj pa ?
,
kar je neko naravno število krat . Torej deli tudi . V splošnem velja:
Če deli naravni števili in , deli tudi njuno vsoto in vsoto njunih večkratnikov.
Pravilno Nazaj
Če deli , lahko zapišemo za neko naravno število . Večkratnik števila je oblike . Ker deli , lahko zapišemo: . Torej deli tudi vse večkratnike števila .
Dodatna naloga 1
Pri Simpsonovih smo opazovali različne relacije. V širši družini najdemo še kakšno.
Oglejmo si relacijo 'biti bratranec ali sestrična'. Ali je refleksivna, simetrična, antisimetrična ali tranzitivna?
a) Relacija je refleksivna:
b) Relacija je simetrična:
c) Relacija je antisimetrična:
d) Relacija je tranzitivna:
Pravilno Naprej
- Refleksivna ni, ker sam sebi ne moreš biti bratranec ali sestrična.
- Simetrična je; če je nekdo bratranec ali sestrična neki osebi, je tudi ta bratranec ali sestrična prvi osebi.
- Antisimetrična ni, ker je simetrična.
- Tranzitivna pa tudi ni, saj ni nujno da sta prva in tretja oseba bratranec ali sestrična. Po tej poti lahko pridemo v drugo koleno, ki nima sorodstvenih vezi s prvo osebo.
Torej je relacija 'biti bratranec ali sestrična' zgolj simetrična.
Dodatna naloga 2
Vzporednosti se zdi zelo podobna relacija pravokotnosti. Da je premica pravokotna na premico , označimo tako . Ali je relacija pravokotnosti refleksivna, simetrična, antisimetrična ali tranzitivna?
a) Relacija je refleksivna:
b) Relacija je simetrična:
c) Relacija je antisimetrična:
d) Relacija je tranzitivna:
Pravilno Naprej
- Refleksivna ni, ker premica ne more biti pravokotna sama nase.
- Simetrična je; če je prva premica pravokotna na drugo, je tudi druga pravokotna na prvo.
- Antisimetrična ni, ker je simetrična.
- Tranzitivna pa tudi ni. Če je prva premica pravokotna na drugo in je druga premica pravokotna na tretjo premico, potem sta prva in tretja premica vzporedni in ne pravokotni, kot bi želeli za tranzitivnost.
Torej je relacija pravokotnosti zgolj simetrična in ni tako 'lepa' kot relacija vzporednosti.
Dodatna naloga 3
Zapiši vse delitelje števil , in .
a) Delitelji števila so:
1, 2, 3, 4, 6, 12, 36
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 36
b) Delitelji števila so:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 16, 20, 40, 80
c) Delitelji števila so:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100
1, 2, 4, 5, 8, 10, 15, 20, 25, 40, 50, 100, 200
Pravilno Naprej
Dodatna naloga 4
Pravilno Naprej
Dodatna naloga 5
Pravilno Končaj
Ker , lahko zapišemo in ker , lahko zapišemo .
Tako lahko zapišemo
Ker sta in naravni števili, je tudi naravno število, zato velja .
Rezultati
