Uvod
| V življenju za natančne opise velikokrat potrebujemo dva ali več povezanih podatkov, ki jih na kratko predstavimo kot urejene pare. Lego točke v ravnini opišemo z dvema koordinatama (, ), pravokotnik je določen z dvema stranicama (, ), lega na zemeljski obli je določena z geografsko širino in geografsko dolžino ... Spoznali bomo množico, ki ima za svoje elemente urejene pare. |
Šah
Kako bi na kratko opredelili lego figure na šahovnici? Premakni točko na pozicijo , , , .
Kartezični produkt
René Descartes du Perron Cartesius (1596–1650) je znan francoski matematik in filozof, po katerem se imenuje kartezični koordinatni sistem. René je bil kot otrok izredno šibkega zdravja in je večkrat ves dan ostal v postelji, od koder je nekoč opazoval muho, ki je krožila po zraku. Prišel je do ideje, da bi lahko njen položaj v vsakem trenutku opisal z določitvijo koordinatnega sistema v prostoru (tri med seboj pravokotne osi, ki se sekajo v skupni točki–izhodišču koordinatnega sistema). Položaj muhe je določil s tremi koordinatami.
Koordinatni sistem v ravnini določata dve koordinatni osi, ki sta med seboj pravokotni. Izhodišče koordinatnega sistema je njuno presečišče. Točke v ravnini z določenim koordinatnim sistemom natančno opišemo z dvema koordinatama .
KARTEZIČNI PRODUKT množic in je množica urejenih parov, pri čemer je prvi element iz prve množice, drugi element pa iz druge množice. in |
Primer
Dani sta množici in . Določi elemente kartezičnega produkta . (Pomagaj si s šahovnico na prvi prosojnici.)
| OPOZORILO urejenem paru, ki je element kartezičnega produkta, je pomemben vrstni red elementov. Na prvem mestu je element iz prve množice, na drugem mestu urejenega para pa element iz druge množice. |
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
Točka na ravnini
Premikaj piki na osi in osi ter opazuj, kaj se dogaja s koordinatama točke .
Pravokotnik
Premikaj točke , , in ter opazuj, kaj se dogaja s pravokotnikom in kaj s koordinatami točk, zapisanimi pod abscisno osjo.
Kakšna je razlika med množico in urejenim parom ?
Razlika je v tem, da pri zapisu množice ni pomemben vrstni red elementov znotraj zavitih oklepajev. To pomeni, da sta množici in enaki.
Pri urejenem paru je pomemben vrstni red elementov. To pomeni, da urejen par ni enak urejenemu paru . Urejena para predstavljata dve različni točki.
Primer 1
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
Primer 2
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
Ali je kartezični produkt komutativen?
Premislimo, ali je kartezični produkt komutativen. Ali sta množici in enaki? Pomagaj si s predhodnima primeroma.
Kartezični produkt ni komutativen. |
Primer 3
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
Moč kartezičnega produkta
Kolikšna je moč kartezičnega produkta , če poznamo moči množic in m in m ?
Prešteti moramo vse urejene pare v množici . Urejen par sestavimo tako, da najprej izberemo prvi element urejenega para (vseh možnosti za izbiro prvega elementa je , kolikor je elementov v množici ). Pri poljubni izbiri prvega elementa v urejenem paru lahko izberemo kateri koli element iz množice za drugi element v urejenem paru. Število vseh izbir za drugi element urejenega para je enako številu vseh elementov v množici , torej .
Vseh urejenih parov v množici je .
Moč kartezičnega produkta je enaka produktu moči množic. m=mm |
1. naloga
1. Množica ima 4 elemente, množica pa 6 elementov. Koliko elementov ima kartezični produkt ?
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
2. naloga
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
3. naloga
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
4. naloga
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
mm m
m(P
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
Števila 4, 6 in 8 so vsebovana v obeh množicah in (glej presek). Zaradi vseh zapisanih pogojev je in
Premakni in opazuj
Kakšno množico točk predstavlja kartezični produkt , kjer sta in intervala in . Pomagaj si s spodnjim prikazom, kjer lahko premikaš točke , , in .
Po tem prikazu boš gotovo pravilno rešil naslednjo nalogo.
Zapiši kartezični produkt še na drugačen način.
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Zakaj tvoja rešitev ni pravilna Preskoči to nalogo
1. dodatna naloga
Pravilno Naprej
2. dodatna naloga
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
3. dodatna naloga
Koliko elementov ima kartezični produkt , če:
a) je množica in so v množici vse črke slovenske abecede?
b) je množica in
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
4. dodatna naloga
Pravilno Naprej
Žal je odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
5. dodatna naloga
Kateri od naslednjih zapisov so pravilni? Če je zapis pravilen, v okence vpiši "P", če je zapis nepravilen pa "N".
Pravilno Končaj
