Nova spremenljivka

Narobe

Poskusi ponovno.

Pravilno

Postopek reševanja

Vpeljemo novo spremenljivko in nato obe strani diferenciramo:

$x^2 +1 = t$ $2x dx = dt$ $x dx = \frac{dt}{2}$

Zdaj izračunamo nedoločeni integral:

$\int \frac{x dx}{x^2 + 1} = \int \frac{dt}{2t}= \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \ln |t| + c = \frac{1}{2} \ln |x^2 +1| + c$

Na koncu upoštevamo še meje :

$\int_0^1 \frac{x dx}{x^2 + 1} = (\frac{1}{2} \ln |x^2 + 1|) \Bigg|_0^1 = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 1 = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \ln \sqrt{2}$

Nalogi

Izračunaj integral

$\int_2^3 \frac{2x -1}{x^2 - x}dx.$

Nova spremenljivka:

$^2 -$ $=t$

( $2$ - ) $dx =$

$\int \frac{2x - 1}{x^2 -x} dx= \int \frac{dt}{t}$


$\int_2^3 \frac{2x - 1}{x^2 - x} dx =$	$\|$ $^2 -$ $\|$	$\Bigg\|$

Preveri

Rešitev

$x^2 - x = t$ $(2x-1) dx = dt$ $\int \frac{2x-1}{x^2 -x} dx = \int \frac{dt}{t}=$ $= \int_2^3 \frac{2x -1 }{x^2 - x} dx = \ln |x^2 - x| \Bigg|_2^3$

Narobe

Tvoj rezultat je / 10

Pravilno

2. način

Izračunajmo integral $\int_1^2 (2x + 1)^3 dx$ še na drugi način.

Tudi pri tem načinu bomo rešili integral z uvedbo nove spremenljivke, vendar bomo spremenili tudi meji določenega integrala.

Izberemo izraz, ki ga bomo nadomestili z novo spremenljivko $t$ :
$2x+1 =t.$

Nato enakost na obeh straneh diferenciramo (na obeh straneh izraza odvajamo po spremenljivki $x$ oziroma $t$ in ju pomnožimo z diferencialom spremenljivke $x$ oziroma $t$ ):
$(2x + 1)' = (t)'$ $2 dx = dt$ $dx = \frac{dt}{2}$

Zdaj bomo spremenili še meji določenega integrala. Spremenljivka $x$ se je gibala na intervalu $[1,2]$ . Na katerem intervalu pa se giblje spremenljivka $t$ ?

$[1,2]$

$[1,5]$

$[1,3]$

$[3,5]$

Narobe

Novo spodnjo mejo dobimo tako, da v izraz $2x+1 = t$ vstavimo $x=1$ ( $1$ je ravno spodnja meja pri integralu, ki ga računamo). Tako dobimo: $2 \cdot 1 + 1 =t \Rightarrow t=3$

Novo zgornjo mejo dobimo tako, da v izraz $2x+1 = t$ vstavimo $x=2$ ( $2$ je ravno zgornja meja pri integralu, ki ga računamo). Tako dobimo: $2 \cdot 2 + 1 =t \Rightarrow t=5$

Nova spremenljivka se torej giblje na intervalu $[3,5]$ .

Pravilno

Novo spodnjo mejo dobimo tako, da v izraz $2x+1 = t$ vstavimo $x=1$ ( $1$ je ravno spodnja meja pri integralu, ki ga računamo). Tako dobimo: $2 \cdot 1 + 1 = t \Rightarrow t=3$

Novo zgornjo mejo dobimo tako, da v izraz $2x+1 = t$ vstavimo $x=2$ ( $2$ je ravno zgornja meja pri integralu, ki ga računamo). Tako dobimo: $2 \cdot 2 + 1 = t \Rightarrow t=5$

Nova spremenljivka se torej giblje na intervalu $[3,5]$ .

2. način

V prvotnem integralu spremenljivko $x$ zamenjamo s spremenljivko $t$ , vendar spremenimo tudi meji. Upoštevamo, da se spremenljivka $t$ giblje na intervalu $[3,5]$ in izračunamo integral:
$\int_1^2 (2x + 1)^3 dx = \int_3^5 t^3 \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^4}{4} \Bigg|_3^5 = \frac{t^4}{8} \Bigg|_3^5 = \frac{625}{8} - \frac{81}{8} = \frac{544}{8} = 68$

Zgled

Za vajo naredimo skupaj še en primer.

Izračunajmo integral

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin (x) \cos^2 (x) dx.$

Vpeljemo novo spremenljivko $t$ in nato obe strani diferenciramo:

$\cos(x) = t$ $- \sin (x) dx = dt$

Določimo še novi meji določenega integrala.

Najprej določimo novo spodnjo mejo:

$\cos (0) = t \Rightarrow t = 1$

Nato določimo novo zgornjo mejo:

$\cos (\frac{\pi}{2}) = t \Rightarrow t=0$

Končno izračunamo začetni integral tako, da uvedemo novo spremenljivko in upoštevamo novi meji določenega integrala:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin (x) \cos^2 (x) dx = \int_1^0 t^2 \cdot (-dt) = - \int_1^0 t^2 dt = \int_0^1 t^2 dt = \frac{t^3}{3} \Bigg|_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{0}{3} = \frac{1}{3}$

Za radovedne

Naj bo $F$ nedoločeni integral funkcije $f$ .

Potem je

$\int f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + c = \int f(t) dt; \qquad g(x) = t, \quad g'(x)dx = dt.$

V integralu $\int_a^b f(g(x))g'(x) dx$ se meji integrala $a$ in $b$ nanašata na spremenljivko $x$ .

Če uvedemo novo spremenljivko $g(x)=t$ , spremenimo tudi meji določenega integrala, ki se nanašata na spremenljivko $t$ .

Spremenljivka $x$ se giblje na intervalu $[a,b]$ .

Spremenljivka $g(x)=t$ pa se giblje na intervalu $[g(a),g(b)]$ .

$\int_a^b f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) \Bigg|_a^b = F(g(b)) - F(g(a)) = F(t) \Bigg|_{g(a)}^{g(b)} = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) dt$

Če v integral vpeljemo novo spremenljivko in upoštevamo novi meji, ki se nanašata na spremenljivko , dobimo:

$\int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) dt; \qquad g(x) = t, \quad g'(x)dx = dt.$

Če v določeni integral vpeljemo novo spremenljivko $g(x)=t$ , ustrezno spremenimo tudi integracijske meje.

Če se spremenljivka $x$ giblje od $a$ do $b$ , se nova spremenljivka $g(x) =t$ giblje od $g(a)$ do $g(b)$ .

Naloga

Poskusi še sam.

Izračunaj integral

$\int_0^2 \frac{dx}{x+1}.$

Nova spremenljivka:

$+$ $=t$

$dx =$

Nova spodnja meja:

$+$ $=t$

$t=$

Nova zgornja meja:

$+$ $=t$

$t=$


$\int_0^2 \frac{dx}{x+1}=$	$\int \frac{dx}{x+1}= \ln \|t\|$	$\Bigg\|$

Preveri

Rešitev

Nova spremenljivka:

$x+1 = t$
$dx=dt$

Nova spodnja meja:

$0+1 =t$
$t=1$

Nova zgornja meja:

$2+1 =t$
$t=3$

$\int_0^2 \frac{dx}{x+1}= \int_1^3 \frac{dt}{t}= \ln |t| \Bigg|_1^3$

Narobe

Tvoj rezultat je / 14

Pravilno

Vaje za utrjevanje

Integral reši najprej s svinčnikom na papir, nato svojo rešitev preveri s klikom na ustrezen gumb. Vadiš lahko oba načina reševanja.

$\int_{-1}^{1} \frac{xdx}{(x^2 +1)^2} =$

$0$

$\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}$

Vaje za utrjevanje

Integral reši najprej s svinčnikom na papir, nato svojo rešitev preveri s klikom na ustrezen gumb. Vadiš lahko oba načina reševanja.

$\int_{0}^{3} e^{\frac{x}{3}} dx =$

$3(e-1)$

$3(e^3 - 1)$

$3(1 - e^3)$

Vaje za utrjevanje

Integral reši najprej s svinčnikom na papir, nato svojo rešitev preveri s klikom na ustrezen gumb. Vadiš lahko oba načina reševanja.

$\int_{1}^{e} \frac{(\ln (x))^2}{x} dx =$

$\frac{1}{3}$

$e\frac{e^2 - 1}{3}$

$1$

Vaje za utrjevanje

Integral reši najprej s svinčnikom na papir, nato svojo rešitev preveri s klikom na ustrezen gumb. Vadiš lahko oba načina reševanja.

$\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{5x-1}} =$

$\frac{2}{5}$

$\frac{2}{5}(\sqrt{2} - 1)$

$\frac{2}{5}(1 - \sqrt{2})$

Vaje za utrjevanje

Integral reši najprej s svinčnikom na papir, nato svojo rešitev preveri s klikom na ustrezen gumb. Vadiš lahko oba načina reševanja.

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{tg}x dx =$

$\ln (\sqrt{3})$

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\ln(\frac{\pi}{3})$

Vaje za utrjevanje

Integral reši najprej s svinčnikom na papir, nato svojo rešitev preveri s klikom na ustrezen gumb. Vadiš lahko oba načina reševanja.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos (2x) dx =$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

$1$

Narobe

Nekje si se zmotil.

Poskusi ponovno ali pa si oglej postopek reševanja.

Pravilno

Postopek reševanja

1. način:

Nova spremenljivka:

$x^2 +1 =t$

$2x dx =dt$

$xdx = \frac{dt}{2}$

$\int \frac{x dx}{(x^2 + 1)^2} = \int \frac{dt}{2t^2} = \frac{1}{2} \int t^{-2}dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-1}}{-1} + c = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t} + c = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} +c$ $\int_{-1}^1 \frac{x dx}{(x^2 + 1)^2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \Bigg|_{-1}^1 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1^2 + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-1)^2 + 1} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$

2. način:

Nova spremenljivka:

$x^2 + 1= t$
$2x dx = dt$
$xdx = \frac{dt}{2}$

Nova spodnja meja:

$(-1)^2 + 1 = t \Rightarrow t=2$

Nova zgornja meja:

$1^2 + 1 =t \Rightarrow t=2$

$\int_{-1}^1 \frac{x dx}{(x^2 + 1)^2} = \int_2^2 \frac{dt}{2t^2} = 0$

Postopek reševanja

Nova spremenljivka:

$\frac{x}{3} = t$

$\frac{1}{3}dx = dt$

$dx = 3 dt$

Nova spodnja meja:

$t=0$

Nova zgornja meja:

$t= \frac{3}{3} = 1$

$\int_0^3 e^{\frac{x}{3}} dx = \int_0^1 3 e^t dt = 3 e^t \Bigg|_0^1 = 3(e-1)$

Postopek reševanja

Nova spremenljivka:

$\ln (x) = t$

$\frac{1}{x}dx = dt$

Nova spodnja meja:

$\ln (1) = t \Rightarrow t=0$

nova zgornja meja:

$\ln (e) = t \Rightarrow t=1$

$\int_1^e \frac{(\ln (x))^2}{x} dx = \int_0^1 t^2 dt =\frac{t^3}{3} \Bigg|_0^1 = \frac{1}{3}$

Postopek reševanja

Nova spremenljivka:

$5x -1 =t$

$5 dx = dt$

$dx = \frac{dt}{5}$

$\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{5x - 1}} = \int_4^9 \frac{dt}{5 \sqrt{t}} = \frac{1}{5} \int_4^9 t^{-\frac{1}{2}}dt = \frac{1}{5} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \Bigg|_4^9 = \frac{2}{5} \sqrt{t} \Bigg|_4^9 = \frac{2}{5} \cdot (3 - 2) = \frac{2}{5}$

Postopek reševanja

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{tg} (x) dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}dx$

Nova spremenljivka:

$\cos (x) = t$

$-\sin (x) dx = dt$

Nova spodnja meja:

$t= \cos (\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Nova zgornja meja:

$t= \cos (\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{tg} (x) dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}dx = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{1}{2}} (\frac{-dt}{t}) = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{dt}{t} = \ln |x| \Bigg|_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \ln (\sqrt{3})$

Postopek reševanja

Nova spremenljivka:

$2x =t$

$2dx = dt$

$dx= \frac{dt}{2}$

Nova spodnja meja:

$t= 2 \cdot 0 = 0$

Nova zgornja meja:

$t= 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos (2x) dx = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos (t) \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (t) dt = \dots = \frac{1}{2}$

Dodatne naloge

Reši spodnjo nalogo. Odgovor vpiši v obliki decimalnega števila in rezultat zaokroži na štiri decimalke natančno.

a) $\int_0^{\pi} \sin (\frac{x}{3})dx$					b) $\int_{-1}^{2} x^2 (1- x^3)^2 dx$
c) $\int_0^{2} \frac{x-2}{x^2 - 4x +5}dx$					d) $\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \frac{dx}{(2-3x)^2}$

Preveri

Rešitve

$\frac{x}{3} = t$

$\frac{1}{3}dx = dt$

$dx = 3 dt$

$\int_0^{\pi} \sin{(\frac{x}{3})}dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin (t)3 dt = 3(- \cos (t)) \Bigg|_0^{\frac{\pi}{3}} = 3 \cdot (- \frac{1}{2} + 1) = \frac{3}{2}$

$1- x^3 =t$

$-3x^2 dx = dt$

$x^2 dx = - \frac{dt}{3}$

$\int_{-1}^2 x^2 (1- x^3)^2 dx = \int_2^{-7} t^2 (- \frac{dt}{3}) = - \frac{t^3}{3} \Bigg|_2^{-7} = \frac{343}{9} + \frac{8}{9} = 39$

$x^2 - 4x +5 = t$

$(2x - 4)dx = dt$

$2(x-2)dx = dt$

$(x-2)dx = \frac{dt}{2}$

$\int_0^2 \frac{x-2}{x^2 - 4x + 5}dx = \int_5^1 \frac{1}{t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \ln |t| \Bigg|_1^5 = \frac{1}{2}(\ln 1 -\ln 5) = \frac{- \ln 5}{2}$

$2- 3x = t$

$-3 dx = dt$

$dx = - \frac{dt}{3}$

$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \frac{dx}{(2 - 3x)^2} = \dots = \frac{2}{9}$

Pravilno

Narobe

Tvoj rezultat je /4

Kazalo

Uvod
1. Način
Nalogi
2. način
Zgled
Naloga
Vaje za utrjevanje
Vaje za utrjevanje
Vaje za utrjevanje
Vaje za utrjevanje
Vaje za utrjevanje
Vaje za utrjevanje
Dodatne naloge

Nazaj

Zapri

Pomoč
Komentarji
Velikost črk
Zapiski
Za učitelja
Natisni

Natisni trenutno prosojnico
Natisni celotno gradivo