| V tem poglavju se boš naučil odvajanja implicitno podane funkcije. Ogledal si boš tudi odvod implicitno podanih stožnic. |
Odvod implicitne funkcije
Odvod implicitne funkcije
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Ponovi
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Odvod sestavljene funkcije
Odvod sestavljene funkcije boš potreboval, ko boš odvajal implicitno podano funkcijo. Preveri kateri izraz predstavlja odvod sestavljene funkcije:
Pravilno
Napačno
Zapis funkcije
Namesto zapisa včasih pišemo kar , lahko pa bi tudi . Tako smo naredili tudi v prvem letniku pri linearni funkciji. Poveži!
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Implicitno podana funkcija
PRIMER
Pri odvajanju naslednje funkcijo najbrž ne boš imel kaj veliko težav. Odvod le te je enak . Pa poglej na funkcijo kot na enačbo in jo poskušaj odvajati. Seveda je enačbo potrebno odvajati na levi in na desni. Na levi strani dobiš , na desni pa . To bi šlo tudi, če bi namesto pisali , in bi se pri tem zavedali, da je odvisen od spremenljivke .
Implicitno podana funkcija
Odvajajmo krivuljo .
Krivulja je podana implicitno, zato jo bo potrebno tudi tako odvajati. Na desni strani ne bo nobenih problemov, na levi pa imamo izraz . Če malo drugače zapišemo ta izraz je to potem enako . Ta funckija je sestavljena in jo bomo tako tudi odvajali. Odvod je enak . Ponavadi namesto pišemo kar . Torej je . Naš odvod krivulje je potem enak . Iz tega zapisa lahko izrazimo odvod, ki je enak .
Kot si opazil si odvod izrazil z in (neodvisno in odvisno spremenljivko), kar je drugače, kot pri odvodu eksplicitne funkcije.
Primer
Odvajaj enačbo krožnice z enačbo .
Pravilno
Napačno
Poskusi še enkrat.
Poglej še tole
Kako bi odvajali krivuljo ?
S prvim členom ne bo nobenih težav, medtem ko je pri drugem členu potrebno upoštevati pravilo produkta dveh funkcij. Poglej:
Od tod lahko izrazimo odvod .
Preveri svoje znanje
Pravilno
Rešitev
Samo druga trditev je napačna.
Napačno
Pravilno si ugotovil pravilnost od 3 trditev. Poskusi še enkrat.
Še nekaj vaje
Pravilno
Rešitev
1.
2.
3.
Napačno
Pravilno si ugotovil odvode od 3 implicitno podanih funkcij. Poskusi še enkrat.
Poišči tangento
Na naslednji sliki si lahko ogledaš krivuljo z enačbo . Točka je premična, ogldaš si lahko tudi tangento in njeno enačbo.
Poišči tangento
Pravilno
Napačno
Narobe si izračunal enačbo tangente, dotikališče je pravilno.Napačno
Poskusi še enkrat.Rešitev
Dotikališče: .Enačba tangente se glasi .
Napačno
Narobe si izračunal dotikališče, enačba tangente je pravilna.
Ko se s točko približujemo k izhodišču, postaja tangenta vedno bolj navpična. V izhodišču je kar enaka osi . ki pa nima eksplicitne oblike enačbe ().
Vprašanji
Imejmo dve krivulji, ki sta podani na različna načina (eksplicitno in implicitno). Dana je tudi abscisa dotikališča . Potrebno je izračunati smerni količnik tangente na krivuljo v dotikališču.
Kaj vse potrebuješ, da določiš smerni količnik tangente eksplicitno podane krivulje?
Kaj vse potrebuješ, da določiš smerni količnik tangente implicitno podane krivulje? Poveži!
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Količnik tangente eksplicitno podane krivulje:
- Odvod eksplicitno podane funkcije
- Odvod izračunan v dotikališču, kjer potrebujem samo absciso dotikališča
Količnik tangente implicitno podane krivulje:
- Odvod implicitno podane funkcije
- Izračunana ordinata dotikališča
- Izračunan odvod v dotikališču, kjer potrebujem obe koordinati
Primer
Pravilno
Utemeljitev:
Najprej določiš absciso točke in dobiš . Nato krivuljo implicitno odvajaš in dobiš . Zdaj imaš dve možnosti, ker iščeš tangento. Lahko izpostaviš , lahko pa vstaviš točko in dobil poenostavljen izraz. To zadnje je še posebej priporočljivo, kadar je ena izmed koordinat enaka . Dobiš , kjer je odvod izračunan v dotikališču in nam pove, da je to smerni količnik tangente, torej . Enačba tangente je potem enaka .
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
Najprej določiš absciso točke in dobiš . Nato krivuljo implicitno odvajaš in dobiš . Zdaj imaš dve možnosti, ker iščeš tangento. Lahko izpostaviš , lahko pa vstaviš točko in dobil poenostavljen izraz. To zadnje je še posebej priporočljivo, kadar je ena izmed koordinat enaka . Dobiš , kjer je odvod izračunan v dotikališču in nam pove, da je to smerni količnik tangente, torej . Enačba tangente je potem enaka .
Dodatne naloge 1
Pravilno
Napačno
Pravilno si izračunal odvode od 4 podanih funkcij.
Rešitev
a)
b)
c)
d)
Dodatne naloge 2
Na krivuljo v točkah položi tangenti. Pod kakšnim kotom se sekata tangenti?
Tangenti se sekata pod kotom
Pravilno
Napačno
Še enkrat poskusi.
Rešitev
,
,
, ,
.
