Naravna in cela števila
Naravna in cela števila
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Razlaga pojmov naravno in celo število; Naloge utrjevanja snovi.
Uvod
Naravna števila
Koliko rož je na sliki? Na sliki je rož.
Koliko pa je cvetnih listov? Na sliki je cvetnih listov. Preveri
Kako smo ugotovili koliko rož in koliko cvetnih listov je na sliki?
Žal si v vsaj eno polje vpisal napačno število. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
Kako smo ugotovili, koliko rož je na sliki? Zelo preprosto – prešteli smo jih. Pri štetju uporabljamo najosnovnejša oziroma najnaravnejša števila. V matematiki jih imenujemo naravna števila.
Kako pa smo ugotovili, koliko je cvetnih listov? Dvomim, da jih je kdo kar preštel. Pri takem štetju se namreč lahko hitro zmotimo, zato si raje pomagamo z dvema računskima operacijama. Prva, ki nas do iskanega števila pripelje na daljši način, a še vedno hitreje od preprostega štetja, je seštevanje. Cvetne liste lahko malo hitreje preštevamo po pet:
.
Vidimo, da se lahko tudi pri tem kaj hitro zmotimo. Na srečo imamo še eno računsko operacijo, ki nam zelo olajša naše štetje. Opazili smo že, da je na sliki 23 rož in da ima vsaka 5 cvetnih listov. Torej imamo 23-krat po 5 listkov.
Na sliki je torej 115 cvetnih listkov.
Kaj smo ugotovili? V množici naravnih števil sta seštevanje in množenje na neki način orodji za hitrejše preštevanje, torej bo vsota oziroma zmnožek vedno naravno število.
Kocka
Koliko majhnih kock je na sliki? Na sliki je majhnih kock. Preveri
Žal si v vsaj eno polje vpisal napačno število. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
Kaj smo naredili? Zmnožili smo število kock po dolžini, širini in višini. Da je zmnožek naravnih števil vedno naravno število, smo vedeli že prej. Vendar je tokratno množenje prav posebno. Kadar večkrat zapored pomnožimo isto število, dobimo potenco:
.
Prej smo vsoto istih števil krajše zapisali s produktom:
,
zdaj pa smo produkt istih števil zapisali s potenco. Oglejmo si še en primer zapisa s potenco:
V splošnem zapišemo:
, če imamo faktorjev.
Vidimo, da tudi pri potenciranju dobimo naravno število, saj je to le poseben primer množenja.
Osnovne računske operacije
Osnovne računske operacije:
- seštevanje
- odštevanje
- množenje
- deljenje
Katerih osnovnih računskih operacij torej še nismo preverili?
Deljenje naravnih števil
Najprej se lotimo deljenja. Med koliko deklet bi lahko razdelili tistih 23 rož s prve slike, tako da bi vsaka od deklet dobila enako število rož?
23 rož s prve slike, bi lahko razdelili na načina. Lahko bi dali enemu dekletu vse rože ali pa dekletom po rož(o). Preveri
Žal si v vsaj eno polje vpisal napačno število. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
Odštevanje naravnih števil
Manjka nam le še odštevanje. Recimo, da imamo na svojem bančnem računu 30 €. Si lahko kupimo jakno za 40 €? Načeloma lahko, saj nam banka običajno dodeli nek limit, neko negativno stanje, do katerega smemo. Toda z negativnimi števili ne preštevamo, to ni več naravno število. Torej v množici naravnih števil odštevanje ni vedno možno.
Kratka ponovitev
Cela števila
Ugotovili smo, da v množici naravnih števil ne moremo odštevati. Lahko jo pa tako razširimo, da omogočimo odštevanje: dodati moramo ničlo in vsa cela negativna števila, to so naravna števila z minusom. Tako dobimo množico celih števil.
Na spodnji sliki lahko premikaš oba križca. Poskusi malo zapravljati in opazuj, kaj se dogaja s stanjem na bančnem računu.
Vidimo, da je novo stanje na računu negativno, če zapravimo več, kot smo imeli.
Kako je pa z ostalimi računskimi operacijami znotraj celih števil? Seštevanje, množenje in potenciranje cela števila nekako podedujejo od naravnih števil. Dogovoriti se moramo le, kako je z negativnimi števili. Najprej se spomnimo, kaj je nasprotno število. Že veš?
Nasprotno število števila je . in sta si nasprotni števili.
Negativna števila
Zdaj se lahko dogovorimo, kako je z negativnimi števili. Pozorno preberi spodnje povedi in jih dopolni.
- Dve števili tako, da k prvemu prištejemo nasprotno vrednost drugega:
.
Za množenje velja :
-
Še potenciranje:
- Če je naravno število, velja .
- Če je n liho naravno število, velja . Preveri
- Če je naravno število, velja .
Tako, zdaj smo pripravljeni na računanje.
Žal si v vsaj eno polje vpisal napačno število. Poskusi ponovno! Ponovno Rešitve Preskoči to nalogo
1. odštejemo
2.
3.
4.
5.
6.sodo
7.
1. naloga
Veliko smo že ugotovili, le računali še nismo prav dosti. Ne pozabi, da za seštevanje, množenje, potenciranje in odštevanje v množici naravnih in v množici celih števil veljajo običajni računski zakoni. Če z oklepaji ni določeno drugače, ima potenciranje prednost pred množenjem, množenje pa ima prednost pred seštevanjem in odštevanjem.
a)
| d)
|
Pravilno Naprej
Žal je vsaj en odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
Deljenje celih števil
Za konec poglejmo še, kako je z deljenjem. S katerimi števili lahko v množici celih števil delimo število –23?
Tudi v množici celih števil nimamo prav dosti izbire. –23 lahko delimo z 1, –1, 23 in –23. Pri vseh ostalih številih količnik ni celo število. Torej tudi v množici celih števil deljenje ni vedno možno.
Kratka ponovitev
1. dodatna naloga
Pravilno Naprej
Žal je vsaj en odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
2. dodatna naloga
Pravilno Naprej
Žal je vsaj en odgovor napačen. Poskusi ponovno! Ponovno Preskoči to nalogo
3. dodatna naloga
Pravilno Končaj
Rezultati
